Additionstheoreme Für Sinus Und Kosinus

Additionstheoreme – Was ist das? Einfach gesagt, es sind Formeln, die uns helfen, den Sinus und Kosinus von *Summen oder Differenzen* von Winkeln zu berechnen. Also, was ist sin(a + b) oder cos(a - b)? Die Additionstheoreme liefern die Antwort!

Die Grundformeln

Hier sind die vier wichtigsten Formeln, die du kennen musst:

1. sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
2. sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
3. cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
4. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Merke dir: Bei Sinus ändert sich das Zeichen zwischen den Termen nicht (Plus bleibt Plus, Minus bleibt Minus). Bei Kosinus ändert sich das Zeichen! (Plus wird Minus, Minus wird Plus).

Schritt-für-Schritt Erklärung

Lass uns jede Formel genauer anschauen:

1. sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Diese Formel sagt uns, wie wir den Sinus der Summe zweier Winkel berechnen können. Zuerst berechnen wir sin(a) und cos(b), dann cos(a) und sin(b). Diese Ergebnisse multiplizieren wir und addieren sie dann.

Beispiel: Wir wollen sin(75°) berechnen. Wir wissen, dass 75° = 45° + 30°. Also:

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

Wir wissen: sin(45°) = √2/2, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, sin(30°) = 1/2

Also: sin(75°) = (√2/2 * √3/2) + (√2/2 * 1/2) = (√6 + √2) / 4

2. sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Ähnlich wie oben, aber jetzt subtrahieren wir statt zu addieren. Beachte das Minuszeichen!

Beispiel: Wir wollen sin(15°) berechnen. Wir wissen, dass 15° = 45° - 30°. Also:

sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°)

Also: sin(15°) = (√2/2 * √3/2) - (√2/2 * 1/2) = (√6 - √2) / 4

3. cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Hier berechnen wir den Kosinus der Summe zweier Winkel. Beachte, dass das Zeichen *wechselt*! Wir subtrahieren sin(a)sin(b) von cos(a)cos(b).

Beispiel: Wir wollen cos(75°) berechnen. Wir wissen, dass 75° = 45° + 30°. Also:

cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°)

Also: cos(75°) = (√2/2 * √3/2) - (√2/2 * 1/2) = (√6 - √2) / 4

4. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Der Kosinus der Differenz zweier Winkel. Hier *addieren* wir sin(a)sin(b) zu cos(a)cos(b).

Beispiel: Wir wollen cos(15°) berechnen. Wir wissen, dass 15° = 45° - 30°. Also:

cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°)

Also: cos(15°) = (√2/2 * √3/2) + (√2/2 * 1/2) = (√6 + √2) / 4

Wozu das Ganze?

Die Additionstheoreme sind super nützlich, um trigonometrische Funktionen von Winkeln zu berechnen, die *keine Standardwinkel* sind (wie 30°, 45°, 60°, 90°), indem man sie in Summen oder Differenzen von Standardwinkeln zerlegt. Sie sind auch wichtig in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften.

Tipps zum Merken

• Übe, übe, übe! Je mehr du rechnest, desto besser merkst du dir die Formeln.
• Erstelle dir eine Eselsbrücke!
• Verbinde die Formeln mit dem Einheitskreis, um ein besseres Verständnis zu bekommen.

Mit ein wenig Übung wirst du die Additionstheoreme im Schlaf beherrschen! Viel Erfolg!