Aus Einem Graphen Die Funktionsgleichung Bestimmen

In diesem Artikel lernst du, wie du die Funktionsgleichung aus einem gegebenen Graphen bestimmst. Die Funktionsgleichung beschreibt die Beziehung zwischen x- und y-Werten auf dem Graphen. Wir werden uns auf lineare und quadratische Funktionen konzentrieren.

Lineare Funktionen:

Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x) = mx + b. m ist die Steigung und b ist der y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet.

Schritt 1: Bestimme den y-Achsenabschnitt (b). Lies den y-Wert ab, an dem der Graph die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist b.

Schritt 2: Bestimme die Steigung (m). Wähle zwei gut lesbare Punkte auf der Geraden. Nenne sie (x₁, y₁) und (x₂, y₂). Die Steigung berechnet man mit der Formel: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Schritt 3: Setze m und b in die allgemeine Form f(x) = mx + b ein. Du hast nun die Funktionsgleichung.

Beispiel:

Nehmen wir an, der Graph schneidet die y-Achse bei y = 2. Also ist b = 2. Zwei Punkte auf der Geraden sind (1, 4) und (2, 6). Die Steigung ist m = (6 - 4) / (2 - 1) = 2 / 1 = 2. Die Funktionsgleichung ist also f(x) = 2x + 2.

Quadratische Funktionen:

Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der wichtigste Punkt einer Parabel ist der Scheitelpunkt.

Schritt 1: Bestimme den Scheitelpunkt (S) der Parabel. Lies die Koordinaten des Scheitelpunkts ab: (x_s, y_s).

Schritt 2: Verwende die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion: f(x) = a(x - x_s)² + y_s. Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts (x_s, y_s) ein.

Schritt 3: Bestimme den Streckfaktor (a). Wähle einen weiteren Punkt auf der Parabel (x, y). Setze diesen Punkt und die bekannten Werte in die Scheitelpunktform ein. Löse nach a auf.

Schritt 4: Setze a, x_s und y_s in die Scheitelpunktform ein. Du hast nun die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform. Bei Bedarf kannst du sie in die allgemeine Form umwandeln.

Beispiel:

Nehmen wir an, der Scheitelpunkt ist bei (1, -1). Also ist x_s = 1 und y_s = -1. Ein weiterer Punkt auf der Parabel ist (0, 0). Die Scheitelpunktform ist f(x) = a(x - 1)² - 1. Setze (0, 0) ein: 0 = a(0 - 1)² - 1. Das ergibt 0 = a - 1, also ist a = 1. Die Funktionsgleichung ist f(x) = (x - 1)² - 1. Ausmultipliziert ergibt das f(x) = x² - 2x.

Das Bestimmen der Funktionsgleichung aus einem Graphen erfordert Übung. Je mehr Graphen du analysierst, desto besser wirst du darin.