Bernoulli Formel N über K

Die Bernoulli-Formel, oft auch als Bernoulli-Experiment oder Bernoulli-Kette bezeichnet, beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Reihe von unabhängigen Versuchen. Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg. Die Formel ist besonders nützlich, um Wahrscheinlichkeiten in Szenarien mit wiederholten, voneinander unabhängigen Ereignissen zu berechnen. Denke zum Beispiel an das Werfen einer Münze.

Die Bernoulli-Formel lautet:

P(X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^{(n - k)}

Was bedeuten die einzelnen Bestandteile der Formel? Lass uns jeden Teil Schritt für Schritt erklären.

P(X = k) steht für die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Erfolge in n Versuchen auftreten. Das ist das Ergebnis, das wir berechnen möchten. Es ist die Kernfrage, die wir mit der Formel beantworten.

n ist die Gesamtzahl der Versuche. Wenn du eine Münze zehnmal wirfst, ist n gleich 10. Es ist die Anzahl der Male, die du das Experiment durchführst.

k ist die Anzahl der gewünschten Erfolge. Wenn du wissen möchtest, wie wahrscheinlich es ist, dass du beim zehnmaligen Werfen einer Münze genau siebenmal Kopf erhältst, ist k gleich 7. k muss immer kleiner oder gleich n sein.

p ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einem einzelnen Versuch. Wenn du eine faire Münze wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf (Erfolg) 0,5 oder 50%. Die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg ist dann (1 - p), also ebenfalls 0,5 in diesem Fall.

(n über k), auch bekannt als Binomialkoeffizient, wird wie folgt berechnet: n! / (k! * (n - k)!). Das Ausrufezeichen (!) steht für die Fakultät. Zum Beispiel ist 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Erfolge aus n Versuchen auswählen kann, ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen. Es wird oft auch als "n choose k" gelesen.

p^k ist die Wahrscheinlichkeit, k Erfolge hintereinander zu erzielen. Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg 0,5 ist und du 3 Erfolge hintereinander erzielen möchtest, wäre das 0,5³ = 0,125.

(1 - p)^{(n - k)} ist die Wahrscheinlichkeit, (n - k) Misserfolge hintereinander zu erzielen. Wenn du insgesamt 10 Versuche hast und 7 Erfolge erwartest, dann sind es (10 - 7) = 3 Misserfolge. Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg 0,5 ist, wäre das 0,5³ = 0,125.

Beispiel: Du wirfst eine Münze 5 Mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Mal Kopf zu erhalten (Annahme: Kopf ist Erfolg)?

Hier ist n = 5, k = 3, und p = 0,5. Setzen wir die Werte in die Formel ein:

P(X = 3) = (5 über 3) * 0,5³ * (1 - 0,5)^{(5 - 3)}

(5 über 3) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 120 / (6 * 2) = 10

P(X = 3) = 10 * 0,5³ * 0,5² = 10 * 0,125 * 0,25 = 0,3125

Die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Mal Kopf zu erhalten, beträgt also 31,25%.

Die Bernoulli-Formel ist ein mächtiges Werkzeug, um die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in einer Vielzahl von Situationen zu berechnen. Achte darauf, dass die Versuche unabhängig voneinander sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bleibt.