Biquadratische Gleichungen Aufgaben Mit Lösungen

Was ist eine biquadratische Gleichung? Stell dir vor, du hast eine Gleichung, die fast wie eine quadratische Gleichung aussieht, aber statt `x` hast du `x<sup>4</sup>`. Genauer gesagt, eine biquadratische Gleichung hat die Form `ax<sup>4</sup> + bx<sup>2</sup> + c = 0`, wobei `a`, `b` und `c` Zahlen sind (und `a` nicht null sein darf).

Wie löst man biquadratische Gleichungen?

Der Trick ist die Substitution. Wir ersetzen `x<sup>2</sup>` durch eine neue Variable, zum Beispiel `z`. Also, `z = x<sup>2</sup>`. Wenn wir das in unsere ursprüngliche Gleichung einsetzen, bekommen wir `az<sup>2</sup> + bz + c = 0`. Aha! Das ist eine ganz normale quadratische Gleichung in `z`!

Quadratische Gleichungen können wir lösen, zum Beispiel mit der Mitternachtsformel (auch bekannt als abc-Formel oder quadratische Lösungsformel) oder durch Faktorisierung. Die Mitternachtsformel lautet: `z = (-b ± √(b<sup>2</sup> - 4ac)) / (2a)`.

Beispiel: Eine Aufgabe mit Lösung

Nehmen wir die Gleichung: `x<sup>4</sup> - 5x<sup>2</sup> + 4 = 0`.

1. Substitution: Sei `z = x<sup>2</sup>`. Unsere Gleichung wird zu `z<sup>2</sup> - 5z + 4 = 0`.
2. Quadratische Gleichung lösen: Wir können diese Gleichung faktorisieren: `(z - 4)(z - 1) = 0`. Das bedeutet, `z = 4` oder `z = 1`.
3. Rücksubstitution: Wir erinnern uns, dass `z = x<sup>2</sup>`. Also müssen wir die Werte von `z` wieder in `x<sup>2</sup>` einsetzen.
   • Für `z = 4`: `x<sup>2</sup> = 4`. Daraus folgt `x = ±2` (denk daran, sowohl +2 als auch -2 quadriert ergeben 4).
   • Für `z = 1`: `x<sup>2</sup> = 1`. Daraus folgt `x = ±1` (wieder sowohl +1 als auch -1 quadriert ergeben 1).

Die Lösungen der biquadratischen Gleichung `x<sup>4</sup> - 5x<sup>2</sup> + 4 = 0` sind also `x = 2`, `x = -2`, `x = 1` und `x = -1`. Wir haben vier Lösungen, weil wir ursprünglich eine Gleichung vierten Grades hatten!

Wichtige Punkte zum Merken

• Eine biquadratische Gleichung hat die Form `ax<sup>4</sup> + bx<sup>2</sup> + c = 0`.
• Die Substitution `z = x<sup>2</sup>` verwandelt die biquadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung.
• Löse die quadratische Gleichung nach `z`.
• Rücksubstitution: Ersetze `z` durch `x<sup>2</sup>` und löse nach `x`.
• Vergiss nicht, dass `x<sup>2</sup> = k` (wobei `k` eine positive Zahl ist) immer *zwei* Lösungen hat: `x = √k` und `x = -√k`.

Was passiert, wenn die Diskriminante negativ ist?

Die Diskriminante (der Teil unter der Wurzel in der Mitternachtsformel, also `b<sup>2</sup> - 4ac`) kann auch negativ sein. Was bedeutet das? Wenn `b<sup>2</sup> - 4ac < 0`, dann hat die quadratische Gleichung in `z` *keine reellen Lösungen*. Das bedeutet aber nicht unbedingt, dass die biquadratische Gleichung *keine* Lösungen hat. Es bedeutet nur, dass sie keine reellen Lösungen hat. Sie könnte aber komplexe Lösungen haben. Für den Anfang konzentrieren wir uns aber auf Fälle, in denen die Diskriminante positiv oder null ist.

Übung macht den Meister! Je mehr biquadratische Gleichungen du löst, desto besser wirst du darin. Viel Erfolg!