Erweitern Und Kürzen Von Brüchen übungen
Erweitern und Kürzen von Brüchen sind grundlegende mathematische Operationen, die den Wert eines Bruchs nicht verändern, aber seine Darstellung verändern. Vereinfacht gesagt, Erweitern macht den Bruch größer, Kürzen macht ihn kleiner – aber nur in Bezug auf die Zahlen im Zähler und Nenner.
Erweitern bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl zu multiplizieren. Dies verändert den Wert des Bruchs nicht, da im Grunde mit 1 multipliziert wird (z.B. 2/2 = 1). Warum machen wir das? Um Brüche gleichnamig zu machen, sodass sie addiert oder subtrahiert werden können.
Betrachten wir den Bruch 1/2. Wenn wir diesen Bruch mit 3 erweitern wollen, multiplizieren wir sowohl den Zähler (1) als auch den Nenner (2) mit 3. Das ergibt (1 * 3) / (2 * 3) = 3/6. 1/2 und 3/6 sind äquivalente Brüche – sie haben den gleichen Wert, aber eine andere Darstellung.
Beispiel: Erweitere den Bruch 2/5 mit 4.
Lösung: (2 * 4) / (5 * 4) = 8/20. Also ist 2/5 das gleiche wie 8/20.
Kürzen ist das Gegenteil von Erweitern. Hierbei dividieren wir den Zähler und den Nenner eines Bruchs durch denselben Teiler. Das Ziel ist es, den Bruch in seine einfachste Form zu bringen, sodass Zähler und Nenner möglichst kleine ganze Zahlen sind. Wir suchen also nach dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner.
Nehmen wir den Bruch 6/8. Sowohl 6 als auch 8 sind durch 2 teilbar. Wenn wir also Zähler und Nenner durch 2 dividieren, erhalten wir (6 / 2) / (8 / 2) = 3/4. Der Bruch 3/4 ist die gekürzte Form von 6/8.
Beispiel: Kürze den Bruch 12/18.
Lösung: Sowohl 12 als auch 18 sind durch 2 teilbar, also (12/2)/(18/2) = 6/9. Aber 6 und 9 sind beide durch 3 teilbar, also (6/3)/(9/3) = 2/3. Der Bruch 2/3 ist die vollständig gekürzte Form von 12/18. Man hätte auch direkt durch 6 teilen können, da 6 der ggT von 12 und 18 ist.
Manchmal muss man mehrere Schritte durchführen, um einen Bruch vollständig zu kürzen. Es ist wichtig, immer nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchen, um den Prozess zu beschleunigen.
Warum sind Erweitern und Kürzen wichtig? Ein praktischer Nutzen ist beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um diese Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Das geschieht durch Erweitern der Brüche. Ein weiterer Nutzen ist die Vereinfachung von Ergebnissen. Ergebnisse in der einfachsten Form sind übersichtlicher und leichter zu verarbeiten. Das Kürzen hilft dabei.
