Periodische Dezimalzahl In Bruch Umwandeln

Eine periodische Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl, bei der sich eine oder mehrere Ziffern nach dem Dezimalkomma unendlich oft wiederholen. Die sich wiederholenden Ziffern nennt man die Periode.

Was bedeutet das genau?

Stell dir vor, du teilst 1 durch 3. Das Ergebnis ist 0,3333... Die Ziffer 3 wiederholt sich endlos. Das ist eine periodische Dezimalzahl. Die Periode ist hier die Ziffer 3.

Andere Beispiele:

• 0,6666... (Periode ist 6)
• 1,232323... (Periode ist 23)
• 5,142857142857... (Periode ist 142857)

Wie wandelt man eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch um?

Es gibt eine Methode, um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln. Wir schauen uns das Schritt für Schritt an.

Schritt 1: Die Zahl benennen

Nenne die periodische Dezimalzahl x. Zum Beispiel: Sei x = 0,3333...

Schritt 2: Multiplizieren, um die Periode vor das Komma zu bringen

Multipliziere x mit 10, 100, 1000, usw., je nachdem wie viele Ziffern die Periode hat. Das Ziel ist, die Periode einmal komplett vor das Komma zu schieben.

• Wenn die Periode aus einer Ziffer besteht (wie bei 0,3333...), multipliziere mit 10: 10x = 3,3333...
• Wenn die Periode aus zwei Ziffern besteht (wie bei 0,232323...), multipliziere mit 100: 100x = 23,2323...
• Wenn die Periode aus drei Ziffern besteht (wie bei 0,123123123...), multipliziere mit 1000: 1000x = 123,123123...

Schritt 3: Subtrahieren

Subtrahiere die ursprüngliche Gleichung (x = ...) von der neuen Gleichung (10x = ... , 100x = ... oder 1000x = ...). Dadurch fallen die unendlichen Dezimalstellen weg.

Beispiel für x = 0,3333...:

10x = 3,3333...

x = 0,3333...

Subtrahiere: 10x - x = 3,3333... - 0,3333...

Das ergibt: 9x = 3

Schritt 4: Nach x auflösen

Teile beide Seiten der Gleichung durch die Zahl vor dem x. Im obigen Beispiel:

9x = 3

Teile durch 9: x = 3/9

Schritt 5: Kürzen

Kürze den Bruch, falls möglich. Im obigen Beispiel:

x = 3/9 = 1/3

Also ist 0,3333... der Bruch 1/3.

Ein weiteres Beispiel: 0,121212...

1. x = 0,121212...
2. 100x = 12,121212... (weil die Periode aus zwei Ziffern besteht)
3. 100x - x = 12,121212... - 0,121212...
4. 99x = 12
5. x = 12/99
6. x = 4/33 (gekürzt durch 3)

Also ist 0,121212... der Bruch 4/33.

Zusammenfassung

Das Umwandeln einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch ist ein systematischer Prozess. Indem du die obigen Schritte befolgst, kannst du jede periodische Dezimalzahl in ihren entsprechenden Bruch umwandeln. Denke daran, die Periode zu identifizieren, entsprechend zu multiplizieren, zu subtrahieren, nach x aufzulösen und den Bruch zu kürzen. Viel Erfolg!