Scheitelpunktform In Normalform Aufgaben Mit Lösungen
Einführung in die Scheitelpunktform und Normalform
Hallo! Schön, dass du dich vorbereitest. Wir schauen uns die Scheitelpunktform und die Normalform von quadratischen Funktionen an. Keine Sorge, es ist einfacher als du denkst!
Ziel ist es, diese Formen zu verstehen. Du sollst auch Aufgaben dazu lösen können. Los geht's!
Was ist die Normalform?
Die Normalform einer quadratischen Funktion sieht so aus: f(x) = ax2 + bx + c. Dabei sind a, b und c Zahlen. Das a bestimmt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Das c gibt den y-Achsenabschnitt an.
Beispiel: f(x) = 2x2 + 4x - 6. Hier ist a = 2, b = 4 und c = -6.
Was ist die Scheitelpunktform?
Die Scheitelpunktform sieht anders aus: f(x) = a(x - d)2 + e. Hier ist (d|e) der Scheitelpunkt der Parabel.
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. a ist wieder der Faktor, der die Öffnung bestimmt. Die Scheitelpunktform ist super, um den Scheitelpunkt direkt abzulesen!
Beispiel: f(x) = 3(x - 2)2 + 1. Der Scheitelpunkt ist (2|1).
Von der Normalform zur Scheitelpunktform
Um von der Normalform zur Scheitelpunktform zu kommen, benutzen wir die quadratische Ergänzung. Das klingt kompliziert, ist aber machbar.
Schritt 1: Klammere a aus den ersten beiden Termen aus: f(x) = a(x2 + (b/a)x) + c.
Schritt 2: Ergänze quadratisch in der Klammer: f(x) = a(x2 + (b/a)x + (b/2a)2 - (b/2a)2) + c.
Schritt 3: Forme die Klammer um: f(x) = a((x + (b/2a))2 - (b/2a)2) + c.
Schritt 4: Multipliziere a wieder ein: f(x) = a(x + (b/2a))2 - a(b/2a)2 + c.
Schritt 5: Vereinfache: f(x) = a(x + (b/2a))2 + (c - a(b/2a)2). Jetzt hast du die Scheitelpunktform!
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
Das ist einfacher! Einfach die Klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen. Starte mit: f(x) = a(x - d)2 + e.
Schritt 1: Klammer auflösen: f(x) = a(x2 - 2dx + d2) + e.
Schritt 2: Multipliziere a ein: f(x) = ax2 - 2adx + ad2 + e.
Schritt 3: Zusammenfassen: f(x) = ax2 + (-2ad)x + (ad2 + e). Fertig ist die Normalform!
Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1: Wandle f(x) = x2 - 4x + 5 in die Scheitelpunktform um.
Lösung: Quadratische Ergänzung: f(x) = (x - 2)2 + 1. Scheitelpunkt ist (2|1).
Aufgabe 2: Wandle f(x) = 2(x + 1)2 - 3 in die Normalform um.
Lösung: Ausmultiplizieren: f(x) = 2x2 + 4x - 1.
Aufgabe 3: Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = -(x - 3)2 + 2.
Lösung: Der Scheitelpunkt ist (3|2).
Zusammenfassung
Die Normalform ist f(x) = ax2 + bx + c. Die Scheitelpunktform ist f(x) = a(x - d)2 + e. Die quadratische Ergänzung hilft beim Umwandeln von der Normalform zur Scheitelpunktform.
Die Scheitelpunktform gibt direkt den Scheitelpunkt (d|e) an. Das Umwandeln zwischen den Formen ist wichtig. Übung macht den Meister!
Du schaffst das! Viel Erfolg bei deiner Prüfung!
