Wie Rechnet Man Kommazahlen In Brüche Um
Was bedeutet es, eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln? Einfach gesagt, wir schreiben die Zahl, die normalerweise mit einem Komma dargestellt wird, als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Ein Bruch besteht aus einem Zähler (die Zahl oben) und einem Nenner (die Zahl unten).
Dezimalzahlen mit endlicher Anzahl an Nachkommastellen
Beginnen wir mit den einfachen Fällen: Dezimalzahlen, die endlich viele Nachkommastellen haben. Der Trick besteht darin, die Zahl ohne Komma zu nehmen und sie als Zähler zu verwenden. Der Nenner ist eine Potenz von 10, die so viele Nullen hat, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat.
Beispiel 1: 0,5. Die Zahl ohne Komma ist 5. Sie hat eine Nachkommastelle. Also ist der Nenner 101 = 10. Der Bruch ist also 5/10. Diesen Bruch können wir kürzen: 5/10 = 1/2.
Beispiel 2: 0,75. Die Zahl ohne Komma ist 75. Sie hat zwei Nachkommastellen. Also ist der Nenner 102 = 100. Der Bruch ist 75/100. Kürzen wir ihn: 75/100 = 3/4.
Beispiel 3: 1,25. Die Zahl ohne Komma ist 125. Sie hat zwei Nachkommastellen. Also ist der Nenner 102 = 100. Der Bruch ist 125/100. Kürzen wir: 125/100 = 5/4. Dies können wir auch als gemischte Zahl schreiben: 1 1/4.
Beispiel 4: 3,141. Die Zahl ohne Komma ist 3141. Sie hat drei Nachkommastellen. Also ist der Nenner 103 = 1000. Der Bruch ist 3141/1000. Dies ist bereits in seiner einfachsten Form.
Periodische Dezimalzahlen
Was passiert aber, wenn die Dezimalzahl periodisch ist, also sich eine Ziffer oder eine Zifferngruppe unendlich oft wiederholt? Das ist etwas komplizierter, aber auch hier gibt es einen Trick.
Beispiel 1: 0,333... (oder 0,3). Hier wiederholt sich die Ziffer 3 unendlich oft. Wir nennen diese Zahl x: x = 0,333.... Multiplizieren wir beide Seiten mit 10: 10x = 3,333.... Nun subtrahieren wir die ursprüngliche Gleichung (x = 0,333...) von der neuen Gleichung (10x = 3,333...): 10x - x = 3,333... - 0,333.... Das vereinfacht sich zu 9x = 3. Dividieren wir beide Seiten durch 9: x = 3/9. Kürzen wir: x = 1/3. Also ist 0,333... = 1/3.
Beispiel 2: 0,666... (oder 0,6). Ähnlich wie oben: x = 0,666.... 10x = 6,666.... 10x - x = 6,666... - 0,666.... 9x = 6. x = 6/9. Gekürzt: x = 2/3.
Beispiel 3: 0,121212... (oder 0,12). Hier wiederholt sich die Zifferngruppe "12". Wir nennen diese Zahl x: x = 0,121212.... Multiplizieren wir beide Seiten mit 100 (da sich zwei Ziffern wiederholen): 100x = 12,121212.... Subtrahieren wir die ursprüngliche Gleichung: 100x - x = 12,121212... - 0,121212.... Das ergibt: 99x = 12. Dividieren wir beide Seiten durch 99: x = 12/99. Gekürzt: x = 4/33.
Zusammenfassend: Bei endlichen Dezimalzahlen verwenden wir eine Potenz von 10 als Nenner. Bei periodischen Dezimalzahlen verwenden wir eine Gleichung und Algebra, um den Bruch zu finden. Übung macht den Meister!
